Description

题目大意:有一个的网格图,给出其中的 \(n\) 个点,要你给这些点染蓝色或红色,满足对于每一行每一列都有红蓝数量的绝对值之差不超过1

Solution

首先建立二分图,点\((x,y)\)视作 \(x->y'\) 的一条边

问题转化为:给边染色,使得每一个点的两种颜色的数量之差不超过\(1\)

如果原图存在欧拉回路,那么沿着欧拉回路交替染色即可(因为一定是偶环)

但是实际上存在度数为奇数的点,不能够成欧拉回路,所以我们先把它变成欧拉回路

容易发现度数为奇数的点的数量是偶数,那么我们新加一些边,使得奇数点两两匹配连边,那么度数就变成了偶数

然后我们发现这样原图就不一定是二分图了,有可能存在奇环(只有起始点会矛盾)

我们先把度数为奇数的点遍历掉,如果没有被遍历到的就都是偶环了,黑白染色肯定符合要求,我们可以直接丢掉

实际上我们只需要从新加入的边开始找欧拉回路就行了,因为这条边实际上是废边

如何证明正确性?

因为矛盾的情况一定是起始点存在某种颜色多了\(1\),而废边正好把这个多了的给消除了,所以是合法的

注意:找欧拉回路时,走过的边就可以不走了,那么就可以从邻接表上直接删除,不然复杂度会出问题

#include
    
     using namespace std;const int N=400400,M=2e5;int n,head[N],nxt[N<<1],to[N<<1],num=1,in[N],q[N],top=0,tot;bool vis[N],ans[N],v[N<<1];int id[N<<1];inline void link(int x,int y,int ID){nxt[++num]=head[x];to[num]=y;head[x]=num;id[num]=ID;}inline void dfs(int x){    vis[x]=1;    int i;    while(head[x]){        i=head[x];        head[x]=nxt[i];        if(v[i])continue;        v[i^1]=1,dfs(to[i]);        q[++top]=id[i];    }}int main(){    int x,y;    scanf("%d",&n);tot=M<<1;    for(int i=1;i<=n;i++){        scanf("%d%d",&x,&y);        link(x,y+M,i);link(y+M,x,i);        in[x]++;in[y+M]++;    }    static int lis[N],cnt=0;    for(int i=1;i<=tot;i++)if(in[i]&1)lis[++cnt]=i;    for(int i=1;i<=cnt;i+=2)link(lis[i],lis[i+1],0),link(lis[i+1],lis[i],0);    bool c=0;    for(int i=1;i<=cnt;i++){        if(!vis[lis[i]]){            dfs(lis[i]);c=0;            while(top){                c^=1;                if(q[top])ans[q[top]]=c;                q[top--]=0;            }        }    }    for(int i=1;i<=tot;i++){        if(!vis[i]){            dfs(i);c=0;            while(top){                c^=1;                if(q[top])ans[q[top]]=c;                q[top--]=0;            }        }    }    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%c",ans[i]?'r':'b');    return 0;}